Bereshit: Números perfectos

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MATEMÁTICAS EN LA TORÁ

Números Perfectos

En matemáticas, un número perfecto se define como un número cuya suma de divisores (incluido el 1, excepto él mismo[1]) es el número en sí. La serie de números perfectos se conoce desde la antigüedad y en nuestra era moderna está catalogada como serie A000396 en la Enciclopedia en línea de Series Integer (oeis.org). Usamos el OEIS con frecuencia para hacer referencia a las muchas series de números que encontramos en la Torá y es un recurso valioso para ver en qué parte de las matemáticas, en el mundo natural y humano, encontramos aplicaciones de estas series.

Oficialmente, los primeros números perfectos son (1), 6, 28 y 496. Todos son números pares. De hecho, todos los números perfectos que se han encontrado son pares, pero, hasta el momento, no se ha demostrado de manera concluyente que esto sea cierto para todos los números perfectos. Para demostrar la definición de un número perfecto, veamos cómo se aplica a estos tres números:

El único divisor de 1 es 1 en sí mismo [2](pero consulte la nota 2 al pie de página).

Los divisores de 6 son 1, 2 y 3 y su suma es 6.

Los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7 y 14 y su suma es 28.

Los divisores de 496 son 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248 y su suma es 496.

Otro hecho importante acerca de los números perfectos pares (nuevamente, esto podría incluirlos a todos) es que se puede demostrar que todo número perfecto es el valor triangular, de cualquier potencia de 2 menos 1 que sea un número primo.[3] Demostremos esto.

Las potencias de 2 son: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … 

Las potencias de 2 menos 1 son: 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, …

Las potencias de 2 menos 1 que son primos son 1, 3, 7, 31, … y sus valores triangulares son:

Δ (21 – 1) = Δ 1 = 1

Δ (22 – 1) = Δ 3 = 6

Δ (23 – 1) = Δ 7 = 28

Δ (24 – 1) = Δ 31 = 496

Entonces, hemos visto que los números perfectos dependen de tres series básicas de números: los números primos, las potencias de 2 y los números triangulares.

Otra propiedad interesante de los números perfectos es que todos los números perfectos conocidos (excepto el 6) son la suma de números cúbicos consecutivos de los números impares, comenzando por 1 (serie A016755 en oeis.org). Por lo tanto, tenemos esto,

1 = 13

28 = 13 ┴ 33

496 = 13 ┴ 33 ┴ 53 ┴ 73

El próximo número perfecto será,

8128 = 13 ┴ 33 ┴ 53 ┴ 73 ┴ 93 ┴ 113 ┴ 133 ┴ 153

Y el próximo número prefecto después de esto es,

335503366 = 13 ┴ 33 ┴ 53 ┴ … ┴ 1233 ┴ 1253 ┴ 1273

Números perfectos en el primer verso

La estructura del primer versículo de la Torá está intrínsecamente relacionada con los números perfectos. El verso dice:

En el principio, Dios creó los cielos y la tierra.

Y en hebreo,

בְּרֵאשִׁית בָָּרָא אֱ-לֹהִים אֵת ַהַשָּׁמִַיִם וְאֵת הָאָרֶץ

En el rollo de la Torá, la primera letra, beit (ב), está escrita con un tamaño más grande, , בְּרֵאשִׁית o que destaca la primera letra. La primera palabra tiene 6 letras. El primer verso completo tiene 28 letras. Aquí hemos encontrado los primeros números perfectos: 1, 6 y 28. Tendría sentido buscar el siguiente número perfecto, 496, también en el primer versículo.

De hecho, 496 es el valor de “los cielos” (אֵת הַשָּׁמַיִם), cuando excluimos la letra shin (ש), en otras palabras, es el valor de: אֵת הַ-מַיִם. Esto puede parecer un poco arbitrario, pero hay una buena razón para ello. En el siguiente versículo encontramos que el “espíritu de Dios se cierne sobre las aguas” (ורְוחַּ אֱ-לֹהִים מְרַחֶפֶת עַל פְּנֵי הַמָּיִם). El valor de ” espíritu de Dios” (רוּחַּ אֱ-להִֹים) es 300, que es el valor de la letra shin (ש), por lo que podemos considerar que esta frase está diciendo que el valor de 300, o la letra shin se desliza sobre las aguas.

¿Qué importancia tiene esto para nuestro análisis? La palabra “cielos” en hebreo significa (entre otras cosas) “allí, hay agua”[4] (שָׁם מַיִם). La palabra “agua” (מַיִם) se puede leer fácilmente en la palabra “cielos” (שָּׁמַיִם), que deja la letra shin para sostenerse en el aire (el “allí” en “allí, hay agua”), o como hemos visto, la letra shin, cuyo valor es 300, alude al “espíritu de Dios” que se cierne sobre las aguas en los cielos. Es como si la letra shin en “cielos” estuviera flotando, dando así una fuerte razón para calcular el valor de “los cielos” (אֵת הַשָּׁמַיִם) sin la shin. De hecho, en Cabalá, la letra shin en “cielos” indica el elemento fuego primordial (llamado hyle[5]), mientras que las letras restantes forman la palabra “agua” (מַיִם), haciendo referencia al elemento agua en los cielos.

En Cabalá, la palabra más asociada con 496, el cuarto número perfecto, es “reino” (מַלְכוּת), que es el fin último y consumado de todo el proceso de creación, conocido en Cabalá como el orden de la evolución (סֵדֵֶר הִשְׁתַּלְשְׁלוּת). Reino también se describe como, “la cuarta pata de la carroza”, las tres primeras son bondad-amorosa, poder y belleza.

Habiendo notado la naturaleza excepcional de la shin de “los cielos”, también podemos dividir las 28 letras (el tercer número perfecto) en 1 (13) letras y 27 (33) letras, no solo dividiendo entre la primera letra, la mayor Beit, y el resto de las letras, pero también dividiendo entre la shin de “los cielos” y las otras 27 letras. Esta segunda posibilidad conduce a las siguientes observaciones.

La ecuación del Génesis

El valor del texto completo del primer versículo de la Torá es 2701, que es el triángulo de 73, donde 73 es el valor de “sabiduría” (חָכְמָה). Ahora, dividiendo las 28 letras del primer versículo de la Torá, en la shin de “los cielos” y las otras 27 letras, produce una ecuación muy interesante. El valor de la shin (ש) es 300 o el triángulo de 24, las letras restantes equivalen a 2401, que es el cuadrado de 49 (y 74). Así tenemos:

2701 = Δ 24 ┴ 492

o,

ְּבְּרֵאשִׁיתּ בָּרָא אֱ-להִֹים אֵת הַ-מַיִם וְאֵת הָאָרֶץ  ┴ שָּׁ  =492 ┴ Δ24

Observe que la suma de 24 y 49 es 73, el índice del triángulo que es igual a 2701, el valor de todo el primer verso. Es fácil ver que la relación entre 24 y 49 se puede expresar como 2 · 24 ┴ 1, y así podemos derivar una forma más generalizada de la última igualdad como, Δ n ┴ (2n ┴ 1)2, que es equivalente a: Δ (3n ┴ 1).[6]

Para probar que esta igualdad es correcta, establezcamos n = 7,

Δ 7 (2 · 7 1)2 = Δ (3 · 7 1)

Δ 7 152 = Δ 22

28 225 = 253, lo cual verifica

“Yo he creado la shin

Dado que hemos visto cómo la letra shin de “los cielos” se cierne sobre la palabra, y hemos explorado lo que sucede cuando separamos la shin del resto del primer versículo de la Torá, tendría sentido mirar la otra shin en el verso, que aparece en la primera palabra, “En el principio” (בְּרֵאשִׁית). Cuando aislamos la shin, obtenemos la frase, “Yo he creado la shin” (בָּרָאתִי ש). Como se mencionó anteriormente, la letra shin simboliza el fuego elemental primordial, o simplemente fuego elemental. Por lo tanto, la noción de “Yo he creado la shin” es similar a la permutación del Tikunei Zohar de la primera palabra en las palabras, “pacto de fuego” (ֵבְּרִית אֵשׁ).

Ahora, el valor de la primera palabra, “En el principio” (בְּרֵאשִׁית), es 913 y cuando aislamos la shin, el valor de “Yo he creado” (בָּרָאתִי) se convierte en 613 – el número de mandamientos. 613 también es un tipo especial de número. Es el número conector-interfaz de 18. Los números conectores-interfaz se denominan números cuadrados centrados en matemáticas; (serie A001844 en oeis.org). El valor de la interfaz de cualquier número n se define como la suma de n2 ┴ (n – 1) 2 y para designarlo usamos la notación ¨n. Entonces, ¨18 es igual a 182 más 172, o 613. Ahora, podemos escribir esto,

913 = ¨18 ┴ Δ 24

Es fácil ver que la proporción de 18 a 24 es 3:4. Podemos generalizar esta ratio y encontrar los primeros números que exhiben la misma propiedad que 913:

¨3 ┴ Δ 4 = 13 ┴ 10 = 23

¨6 ┴ Δ 8 = 61 ┴ 36 = 97

¨9 ┴ Δ 12 = 145 ┴ 78 = 223

Es importante tener en cuenta que en realidad el primer número de esta serie será 1, porque,

¨0 ┴ Δ 0 = 1 ┴ 0 = 1

Podemos continuar la serie usando el método de diferencias finitas, así:

1         23       97        223       401       631       913

                                    22         74        126       178       230       282      

                               52         52         52         52         52

La base de la serie, 52, es igual a “Havaiá, Havaiá[7] (י-הוה י-הוה), aludiendo a la noción de que Dios agregó una medida de compasión a la creación del mundo. Aquí vemos que 913, el valor de “En el principio” (בְּרֵאשִׁית) es el séptimo número de la serie. En la Torá hay un principio que establece que “todos los séptimos son queridos” (כֹּל הַשְֹּבִיעִין חֲבִיבִין). El quinto número de la serie, 401, es el valor del artículo intraducible אֵת, la palabra con la que comienza la segunda parte del primer versículo.

Cuando desarrollamos una serie particular de números que encontramos, generalmente la extendemos a los números séptimo y decimotercero. Una de las propiedades de cada serie cuadrática – y la serie que hemos desarrollado es cuadrática – es que la suma de los primeros siete números se dividirá entre 7. En este caso, la suma es 2289, lo que significa que el promedio de cada número es 327, el valor de la frase, “fuego de Havaía” (אֵשׁ י-הוה),[8] una alusión directa al fuego que descendió del cielo a instancia de Eliahu en el monte Carmel,

Entonces el fuego de Havaiá descendió y consumió el holocausto, la leña, las piedras y la tierra; y lamió el agua que estaba en la zanja.[9]

וַתִּפֹּל אֵשׁ י-הוה וַתֹּאכַל אֶת הָעֹלָה֙ וְאֶת הָעֵצִים וְאֶת הָאֲבָנִים וְאֶת הֶעָפָר וְאֶת הַמַּיִם אֲשֶׁר בַּתְּעָלָה לִחֵכָה

Curiosamente, si ampliamos la serie anterior, encontraremos que el siguiente número es 1247. La suma de los primeros 8 números de la serie será 3536, que es el producto de ¡“Elíahu” [10] (אֵלִיָהּוּ) y “el profeta” (הַָּנָּבִיא)!

El valor promedio de los primeros 4 números de la serie es 86, el valor de Elokim (אֱ-להִֹים), en alusión al “espíritu de Dios [Elokim]” (רוּחַּ אֱ-להִֹים) y la letra shin que se cierne sobre las aguas. En la Cabalá hay una conexión especial entre la shin, cuyo valor es 300 y el Nombre Elokim, ya que el llenado de Elokim (אלף למד הי יוד מם) es igual a 300. Por lo tanto, el llenado de Elokim equivale al “espíritu de Elokim” (רוּחַּ אֱ-להִֹים). Dado que la “raíz” del relleno, es decir, la palabra original, es por supuesto igual a Elokim, las letras adicionales del relleno (לף מד י וד ם) equivalen a “espíritu” (רוּחַּ). La palabra “espíritu” también se puede leer como la palabra “espacio” (רֶוַַח), como en un espacio entre las letras; de hecho, se puede pensar que las letras adicionales de cada relleno proporcionan espacio entre las letras raíz.

Los cielos

Hemos hecho un gran viaje en nuestro estudio de los números perfectos en el primer versículo de la Torá. Ya que hemos dedicado tanto a la palabra “los cielos” (הַשָּׁמַיִם), concluyamos preguntando: ¿Cuántas veces aparece esta palabra en el Pentateuco? Resulta que hay 73 apariciones de esta palabra en los Cinco Libros de Moisés. 73, como hemos visto es el valor de “sabiduría” (חָכְמָה) y el valor de todo el primer verso es 2701, ¡o el valor triangular de 73!

En la descripción de los siete días de la creación, encontramos la palabra mencionada 10 veces, otra correspondencia entre “los cielos” y sabiduría, ya que 10 es el valor de la primera letra en el Nombre esencial de Dios, Havaiá, la iud. La aparición final de “los cielos” en el Pentateuco está en el verso de apertura de la parashá Haazinu, “Escuchen los Cielos” (הַאֲִזִינוּ הַשָּׁמַיִם).[11]

Números abundantes y deficientes

Para terminar, observemos algo más sobre los números perfectos. Si la suma de los divisores de un número es menor que el número, se denomina número deficiente; si la suma es mayor que el número en sí, se denomina número abundante. Por ejemplo, 10 es un número deficiente porque la suma de sus divisores es 1 más 2 más 5, o 7. Pero, 100 es un número abundante; sus divisores son 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25 y 50 y su suma es 117.

Por lo tanto, podemos imaginar los números perfectos como un hilo que atraviesa los números enteros, entre los números deficientes y los abundantes. Como tal, los números perfectos actúan como un balance entre los números deficientes y abundantes. Al interpretar este estado de cosas en el ámbito espiritual-psicológico, podríamos decir que los números abundantes representan individuos que se consideran por encima de su verdadera capacidad (esto es menos común), mientras que los números deficientes son aquellos que se ven a sí mismos como capaces de mucho menos de lo que en realidad son. Los números perfectos representan una persona justa bien equilibrada que es capaz de equilibrar a otros individuos y llevarlos a vivir su vida al máximo.


[1]  Debido a que incluimos 1 como divisor de cada número, esto plantea una paradoja con respecto al estado del número 1 en sí. Por un lado, 1 se divide a sí mismo y, por lo tanto, su único divisor es 1, por lo que debe considerarse un número perfecto. Por otro lado, hemos estipulado que no debemos incluir el número en cuestión en la lista de sus propios divisores, por lo que 1 no debe considerarse un número perfecto. Esto crea una especie de estado paradójico para el número.

[2]  De modo que la definición oficial de números perfectos no incluye 1, sin embargo, como veremos más adelante, tiene sentido en ciertos casos del análisis textual de la Torá abordar el 1 como un número perfecto.

[3] Las potencias de 2 menos 1 significa 2n – 1. Se puede demostrar fácilmente que para las potencias de 2 (es decir, 2n), 2n-1 es igual a la suma de las potencias de 2 hasta 2n menos 1. Por ejemplo, la potencia de 25 (n = 5) es 32 y 25 – 1 es 31. Las potencias de 2 hasta 25 son 1, 2, 4, 8, 16, y su suma es 31

[4] Ver Rashi sobre Génesis 1:8

[5] Ver el Rambam  a Ibid. v. 2

[6] Dejamos la demostración de esta equivalencia al lector

[7] El inicio de las Trece Medidas de Compasión Divina; Éxodo 34: 6.

[8] En un ejemplo de increíble autorreferencia, el valor primordial del “fuego de Havaiá” (א אבגדהוזחטיכלמנסעפצקרש אבגדהוזחטי אבגדה אבגדהו אבגדה) es 1202, el valor exacto de las tres primeras palabras de la Torá, “En el principio creó Dios” ( בְּרֵאשִׁית בָּרָא אֱ-להִֹים ).

[9] 1 Reyes 18:38.

[10] El valor de Eliahu (אֵלִיָהּוּ) es por sí mismo 52, la base de la serie

[11] Consulte nuestro artículo sobre parashat Ha’azinu para obtener más información. La palabra “los cielos” (הַשָּׁמַיִם) es igual a 5 veces el valor de “escuchen” (הַאֲִזִינוּ), lo que significa que el valor promedio de cada una de las cinco letras en “los cielos” (השַָּׁמַיםִ) es igual a “escuchen” (הַאֲִזִינוּ). Cuando sumamos las dos palabras juntas (הַאֲִזִינוּ הַשָּׁמַיִם), por lo tanto, equivalen a 6 veces “escuchar” o “correr y volver” de la palabra “escuchen” (ה הא האז האזי האזינ האזינו אזינו זינו ינו נו ו), o 474, que es el valor de “conocimiento” (דעת), la llave de las 6 facultades emotivas del corazón.

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