CUANDO DOS TRIÁNGULOS FORMAN UN CUADRADO

Uno de los secretos de la unión de la Torá y la ciencia es la utilización de las matemáticas. Sabemos que toda demostración científica, en lo que concierne a las ciencias naturales y en general en todos los campos del conocimiento, debe estar basado en una explicación matemática del fenómeno en estudio.

En la Torá, por su lado, sabemos que los sabios de todas las épocas buscaron las relaciones matemáticas entre las palabras reveladas y el concepto profundo que encierran, como una forma de comprender la sabiduría que puso en las palabras el Creador del universo. La guematria es una de las herramientas que utilizaron, como así también la cantidad de letras, palabras, versos y demás componentes del Tanaj (la Torá, los Profetas y las Escrituras), sus intervalos, fechas, personajes y demás.

El Rav Ginsburgh, en su calidad de matemático y maestro en todos los campos de la Torá revelada y oculta, posee las herramientas adecuadas que posibilitan llevar a buen término la enorme tarea de unir las Aguas Superiores y las Aguas inferiores (ver …), la sabiduría Divina de la Torá y la sabiduría de las naciones del mundo. El objetivo de todo esto es la revelación de la Divinidad que hay en la Torá y en el mundo material, construir una morada para Hashem en este mundo físico, finalizando la preparación de la humanidad y el mundo todo para la llegada de la Redención definitiva, con la llegada del Mashíaj verdadero.

Para que podamos compartir esta tarea, necesitamos ponernos al tanto y ser expertos en todos los temas de la Torá, nigle y nistar , revelada y oculta, a través su estudio profundo, acompañándolo del estudio de la ciencia.

La sabiduría de la Cabalá y el Jasidut que nos propone el Rav Ginsburgh contiene conceptos profundos y términos técnicos que a veces no podemos llevarlos a la práctica y relacionarlos con nuestra vida diaria. En este artículo queremos darles un ejemplo de cómo la matemática nos ayuda a lograr esto, aclarando un aspecto específico como lo son los números triangulares y los cuadrados, desde el novedoso punto de vista de su utilización para comprender lo espiritual y lo material y la profunda conexión interior que hay entre ellos.

Los invitamos a sumergirse en las páginas que siguen. Los que aman la Torá y las matemáticas encontrarán un gran placer. Los que sólo conozcan a una de ellas, quien sabe encuentren su media naranja. Para aquellos que todavía están con el corazón vacío de ambos amores, puede ser que se lleven una sorpresa. Todos encontrarán alimento para sus almas.

Tomen lápiz y papel (los judíos no en Shabat) y cómo dice el conocido canto de Jánuca: Lo lefajed clal , “No tener miedo para nada”.  

Héroe y Heroína

La historia de la revuelta de los Hashmonaim contra los griegos seléucidas cuenta acerca de un héroe y una heroína. El héroe fue Matitiahu, el Sumo Sacerdote de ésa época, quien junto a sus cinco hijos lideraron la revolución. La heroína fue Iehudit, quien sedujo, sedó y mató al general griego Alofernes.¹

Además de su demostración de bravura frente a los griegos, estos dos personajes tienen un rasgo matemático en común. La guematria de Matitiahu, es 861 y la de Iehudit es 435. Ambos son números triangulares:

Los Números Triangulares y los Números Cuadrados

Estas dos clases de números comparten una sólida relación entre ellos. Una de las definiciones básicas es que dos números triangulares es que la suma de dos números cuadrados.. Más precisamente:

Visto gráficamente en forma geométrica:

Una de las preguntas que surgen en el contexto de esta discusión, es ¿Existen otro par de números triangulares que juntos equivalen a un cuadrado? La respuesta es que existen muchas familias triangulares como estas.

Por cierto, nuestro par 435 y 861 suman 1296, que es el cuadrado de 36 (36 2 , el número de velas que prendemos durante los 8 días de Jánuca), según la siguiente ecuación:

Generalizando

Entonces, la primera propiedad que podemos extraer es que la suma de nuestro par de triángulos no es cualquier cuadrado, sino uno cuya raíz es también un cuadrado. Veamos otro ejemplo como (5 2 ) 2 = 625. Es fácil encontrar que aquí también hay dos números triangulares (además de los triángulos de 25 y 24) cuya suma es igual a 625:

Observando la similitud de las proporciones entre estos números y los anteriores, parece empezar a dibujarse esquema general. Si calculamos en forma regresiva podemos construir la siguiente tabla con valores similares que satisfagan la ecuación

Nuevamente, noten que en la columna c están simplemente los números cuadrados.

Destaquemos algunas pocas propiedades de esta tabla:

• Las diferencias entre los valores de la columna “a” son los enteros pares.
• Las diferencias entre los valores en la columna “b” son los enteros pares, pero empezando un paso antes.
• Las diferencias entre los valores en la columna “c” son enteros impares, el hecho bien sabido de que la diferencia entre números cuadrados son enteros impares.
• Todo valor de “b” es el valor de “a” en el renglón inmediato superior.

De esta tabla podemos extrapolar la ecuación general que describe a nuestra familia de pares de números triangulares cuya suma es un número cuadrado:

Otra relación que puede ser inducida de esta tabla se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:

Masculino y Femenino

Uno de los tópicos importantes en la Torá es el apareamiento de diferentes entidades, conceptos, etc. en parejas femenino-masculino. Esto alcanza a la teoría de los números, que en concordancia con la Torá, afirma que los números son femeninos o masculinos y pueden ser apareados de esta manera. Uno de los pares más ubicuos en la Torá es el 7-13, donde 13 es el relativamente masculino y el 7 el relativamente femenino.

Obviamente Matitiahu y Iehudit , los héroes de Jánuca constituyen un para masculino-femenino, y esto se refleja en la generalización de sus valores numéricos que vimos antes.

Hemos hallado entonces que la columna “a” que representa a lo femenino –Iehudit- refleja una cualidad masculina (por ser múltiplo de 13). En efecto, Iehudit actúa expresando su lado masculino al matar al general griego como un hombre. Por otro lado, la columna “b” representa lo masculino –Matitiahu- refleja una cualidad femenina (por ser múltiplo de 7) y sabemos que Matitiahu inspira a sus cinco hijos a declarar la guerra contra la poderosa armada griega, como una mujer, con su enorme fe en Hashem, inspira al hombre a luchar las batallas de Dios.

Este es un fenómeno bien conocido en el Zohar llamado “cambio de lugares”, ( ?????? ???????? , ajlifu dujtaiiu ) y se refiere al estado de rectificación y madurez, donde en ciertos contextos masculino y femenino pueden cambiar sus roles.

Más acerca de 29 y 41

De todos los pares de enteros “a” y “b” enumerados arriba el par “Jánuca 29-41 (para n=6) posee una propiedad especial. 29 ² = 841 es el punto medio de 41 ² = 1681. Esto significa que 841 es un cuadrado y además un “número inspirador” ( mispar hashraá ), que es la suma de dos cuadrados consecutivos:

29 ² = 841 = 441 – 400 = 21 ² – 20 ²

Note que 21 y 20 suman 41, la pareja de 29.

Ahora, analizando la tabla de arriba hemos visto que la regla es que en cada renglón c–a es 2 unidades más que b-c. En el caso de a = 29, b = 41, y c = 36, c – a = 7 y b – c = 5. Como 7 es el valor de la letra zain ( ? ) y 5 es el valor de la letra hei ( ? ), cuando se suman forman la palabra “este [es]” ( ?? ). Esta palabra representa el nivel especial de profecía que tenía Moshé Rabeinu. En total, comenzó 8 veces su profecía con esta palabra, correspondiente a los 8 días de Janucá.

Note que estos dos números, 7 y 5, poseen la misma propiedad especial que vimos respecto a 29 y 41, a saber, 5 2 (25) es el punto medio de 7 2 (49)!. Como dijimos más arriba, esto implica que 25 además de ser un número cuadrado es también un número inspirador, o sea la suma de dos cuadrados consecutivos, los cuadrados de 3 y 4 (donde 3 –   4 = 7, la pareja de 5).

Nos preguntamos si hay otro par de números entre 5 y 7 y 29 y 41 que posean estas propiedades. La respuesta es negativa, estos números son únicos. El próximo para es 169 y 329. Para entender a fondo el patrón involucrado aquí, debemos familiarizarnos con el teorema de Pell. Pero se puede demostrar intuitivamente que hay una función recurrente, según la cual cada nuevo par es 6 veces el anterior menos el par anterior al anterior. En este caso:

169 = 6 · 29 – 5

239 = 6 · 41 – 7

Jánuca celebra la victoria de la Torá sobre la filosofía y la cultura helénica. Esta victoria sacó a la luz (en las luminarias del candelabro) que las chispas de verdadera sabiduría que se ha encontrarse en la cultura griega tienen su origen en la Torá y está reflejadas en las almas de Israel. Aquí hemos descubierto un triplete pitagórico (20, 21, 29) relacionado con los nombres de los héroes de Jánuca.

Números Triangulares-Cuadrados

1225 también tiene un significado especial en el judaísmo, porque es la suma de los días que contamos durante la Cuenta del Omer, que se realiza durante 49 días (desde el día siguiente a Pesaj hasta el día anterior a Shavuot) la forma en que contamos es explícitamente establece que sumamos los días. No decimos “Hoy es el primer día del Omer”, “hoy es el segundo día del Omer”, etc., sino que decimos “Hoy es un día del Omer”, “Hoy son dos días del Omer”, etc.,

Ahora, si completamos la tabla de arriba, para c = 1225. Es fácil de calcular que “a” será 1189 (36 menos que 1225). Y 1189 = 29 · 41!

Jánuca y los Tzadikim

Imaginemos ahora que los 8 días de la festividad corresponden a las 8 líneas de nuestra tabla de n = 1 a n = 8. Hemos destacado arriba que la suma de 4 números consecutivos de las columnas a o b equivaldrán siempre a un número cuadrado. De la columna b (los enteros positivos desde 1) esto significa 1 –  5 – 11 – 19 = 36 = 6 2 . En total, estos 8 números suman 232, el valor numérico de las dos primeras palabras de Dios en la creación: “Sea la luz” ( ????? ???? ), ¡La luz de Jánuca! La suma de los 8 cuadrados primeros (la columna c) = 204, cuyo cuadrado es 41616, el siguiente número triangulo-cuadrado luego de 1225 y

204 es el valor numérico de la palabra tzadik ( ?????? ), de los que hay 36 en cada generación. Entonces, uno de los secretos que encierran las 36 velas de Jánuca es que cada uno de los 36 tzadikim de la generación brilla su luz especial a todas las almas de la generación, nos cuenta su historia individual y nos canta su canción, ¡a través de una de las velas de Jánuca!

Nota:

¹ Para saber más acerca de los números triangulares-cuadrados ver el artículo de la Conversión de la Sabiduría de las Naciones en nuestro sitio de Internet.